Matéria: Resistência dos Materiais - Resmat Parte 1 de 4

 
Introdução - Esforços comuns
Materiais sólidos tendem a deformar-se (ou eventualmente se romper) quando submetidos a solicitações mecânicas. A Resistência dos Materiais é um ramo da Engenharia que tem como objetivo o estudo do comportamento de elementos construtivos sujeitos a esforços, de forma que eles possam ser adequadamente dimensionados para suportá-los nas condições previstas de utilização.

Figura 01

A Figura 01 dá formas gráficas aproximadas dos tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os elementos construtivos:

(a) Tração: caracteriza-se pela tendência de alongamento do elemento na direção da força atuante.

(b) Compressão: a tendência é uma redução do elemento na direção da força de compressão.

(c) Flexão: ocorre uma deformação na direção perpendicular à da força atuante.

(d) Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção transversal tende a girar em relação às demais.

(e) Flambagem: é um esforço de compressão em uma barra de seção transversal pequena em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura na barra.

(f) Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre seções transversais. 

Em muitas situações práticas ocorre uma combinação de dois ou mais tipos de esforços. Em alguns casos há um tipo predominante e os demais podem ser desprezados, mas há outros casos em que eles precisam ser considerados conjuntamente.

Tensão normal e tensão transversal

Seja o exemplo de uma barra de seção transversal S submetida a uma força de tração F. É evidente que uma outra barra de seção transversal maior (por exemplo, 2 S), submetida à mesma força F, trabalha em condições menos severas do que a primeira. Isso sugere a necessidade de definição de uma grandeza que tenha relação com força e área, de forma que os esforços possam ser comparados e caracterizados para os mais diversos materiais.

Figura 01

Tensão é a grandeza física definida pela força atuante em uma superfície e a área dessa superfície. Ou seja,

tensão = força / área  #1.1#

Por essa definição, a unidade de tensão tem dimensão de pressão mecânica e, no Sistema Internacional, a unidade básica é a mesma da pressão: pascal (Pa) ou newton por metro quadrado (N/m²).

A Figura 01 (a) representa uma barra tracionada por uma força F. A parte (b) da figura mostra um seccionamento transversal hipotético. Então, a tensão σ, normal ao corte, é dada por:

σ = F / S  #A.1#

Onde S é a área da seção transversal da barra.

Obs: é suposto que as tensões estão uniformemente distribuídas ao longo da seção. Em vários casos, isso não pode ser considerado verdadeiro e o resultado da fórmula acima é um valor médio. 

Tensões podem ter componentes de modo análogo às forças. Na Figura 01 (c), é considerada uma seção hipotética que faz um ângulo α com a vertical. E a força atuante nessa seção pode ser considerada a soma vetorial da força normal (F cos α) com a força transversal (F sen α). Portanto, a tensão nessa superfície é a soma dos componentes:

Tensão normal: em geral simbolizada pela letra grega sigma minúsculo (σ).

Tensão transversal (ou de cisalhamento): em geral simbolizada pela letra grega tau minúsculo (τ).


Considera-se, conforme Figura 01 deste tópico, uma barra redonda de diâmetro D e comprimento L, inicialmente na condição livre, isto é, sem aplicação de qualquer esforço.

Fig 01

Se aplicada uma força de tração F, as seguintes deformações são perceptíveis:

• o comprimento aumenta de L para L₁ = L + ΔL.

• o diâmetro diminui de D para D₁.

Alongamento (ou deformação longitudinal) ε da barra é definido pela relação entre a variação de comprimento e o comprimento inicial

ε = ΔL / L #A.1#. É uma grandeza adimensional e também pode ser dada em termos percentuais

ε = 100 ΔL / L #A.2#.

Paralelamente ao aumento de comprimento, ocorre uma redução do diâmetro, denominada contração transversal, que é dada por

ε_t = (D - D₁) / D #B.1#.

As grandezas anteriores são, portanto, variações relativas do comprimento tracionado e da dimensão transversal a esse comprimento. O coeficiente de Poisson (em geral, simbolizado por ν ou μ) é a relação entre essas variações

ν = ε_t / ε #C.1#. Valores típicos de ν para metais estão na faixa de 0,20 a 0,40.

Fig 02

Os ensaios de tração determinam graficamente a relação entre a tensão aplicada e o alongamento em uma amostra (corpo de prova) de um determinado material. Mais informações podem ser vistas nas páginas de Ensaios de materiais I-10 deste site.

A Figura ao lado 02 (a) dá a curva aproximada para um aço estrutural típico

Existe um valor-limite de tensão até o qual a tensão aplicada (σ = F / S) é proporcional à deformação longitudinal ε

σ = E ε #C.1#.

Essa igualdade é conhecida como lei de Hooke e indica, portanto, a região de proporcionalidade entre tensão aplicada e deformação no mesmo sentido dessa tensão.

O coeficiente E é denominado módulo de elasticidade ou módulo de Young (homenagem ao cientista inglês Thomas Young).

Desde que ε é uma grandeza adimensional, conclui-se que o módulo de elasticidade E tem a mesma unidade da tensão (pascal, Pa, no Sistema Internacional).

Obs: para compressão, pode-se supor a mesma lei, considerando a tensão com sinal contrário. Entretanto, alguns materiais exibem valores de E diferentes para tração e compressão. Nesses casos, podem-se usar as notações E_t e E_cpara a distinção entre eles.

A tabela abaixo informa valores típicos de E e ν para alguns metais.

-	Aços	Alumínio	Bronze	Cobre	Ferro fundido	Latão
E (GPa)	206	68,6	98	118	98	64
ν	0,30	0,34	0,33	0,33	0,25	0,37

Voltando à Figura 02 (a), os pontos marcados têm as definições a seguir comentadas.

σ_p: limite de proporcionalidade do material, isto é, tensão abaixo da qual o material se comporta segundo a lei de Hooke.

σ_e: limite de escoamento (tensão a partir da qual as deformações são permanentes. Indica o início da região plásticado material. A região elástica do material está, portanto, à esquerda desse limite e abrange a região de proporcionalidade anterior).

σ_b: tensão máxima de ensaio do material.

σ_r: tensão de ruptura de ensaio do material.

Em materiais pouco dúcteis (frágeis) como ferro fundido, nem todos esses limites ocorrem e uma curva típica é parecida com a Figura 02 (b).

No caso de aços, o teor de carbono exerce significativa influência nas tensões máximas. Abaixo alguns valores típicos de tensões de escoamento e de ruptura para aços-carbono comerciais.

Teor C %	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50
σe (MPa)	177	206	255	284	343
σr (MPa)	324	382	470	520	618

Em geral, para fins de dimensionamento no caso de materiais dúcteis, considera-se tensão admissível igual à tensão de escoamento dividida por um coeficiente de segurança. No caso de materiais frágeis, conforme visto, a tensão de escoamento não é definida e normalmente é usada a de ruptura dividida pelo coeficiente de segurança.

Tração e compressão: generalidades

Considera-se, conforme Figura 01 deste tópico, uma barra redonda de diâmetro D e comprimento L, inicialmente na condição livre, isto é, sem aplicação de qualquer esforço.

Fig 01

Se aplicada uma força de tração F, as seguintes deformações são perceptíveis:

• o comprimento aumenta de L para L₁ = L + ΔL.

• o diâmetro diminui de D para D₁.

Alongamento (ou deformação longitudinal) ε da barra é definido pela relação entre a variação de comprimento e o comprimento inicial

ε = ΔL / L #A.1#. É uma grandeza adimensional e também pode ser dada em termos percentuais

ε = 100 ΔL / L #A.2#.

Paralelamente ao aumento de comprimento, ocorre uma redução do diâmetro, denominada contração transversal, que é dada por

ε_t = (D - D₁) / D #B.1#.

As grandezas anteriores são, portanto, variações relativas do comprimento tracionado e da dimensão transversal a esse comprimento. O coeficiente de Poisson (em geral, simbolizado por ν ou μ) é a relação entre essas variações

ν = ε_t / ε #C.1#. Valores típicos de ν para metais estão na faixa de 0,20 a 0,40.

Fig 02

Os ensaios de tração determinam graficamente a relação entre a tensão aplicada e o alongamento em uma amostra (corpo de prova) de um determinado material. Mais informações podem ser vistas nas páginas de Ensaios de materiais I-10 deste site.

A Figura ao lado 02 (a) dá a curva aproximada para um aço estrutural típico

Existe um valor-limite de tensão até o qual a tensão aplicada (σ = F / S) é proporcional à deformação longitudinal ε

σ = E ε #C.1#.

Essa igualdade é conhecida como lei de Hooke e indica, portanto, a região de proporcionalidade entre tensão aplicada e deformação no mesmo sentido dessa tensão.

O coeficiente E é denominado módulo de elasticidade ou módulo de Young (homenagem ao cientista inglês Thomas Young).

Desde que ε é uma grandeza adimensional, conclui-se que o módulo de elasticidade E tem a mesma unidade da tensão (pascal, Pa, no Sistema Internacional).

Obs: para compressão, pode-se supor a mesma lei, considerando a tensão com sinal contrário. Entretanto, alguns materiais exibem valores de E diferentes para tração e compressão. Nesses casos, podem-se usar as notações E_t e E_cpara a distinção entre eles.

A tabela abaixo informa valores típicos de E e ν para alguns metais.

-	Aços	Alumínio	Bronze	Cobre	Ferro fundido	Latão
E (GPa)	206	68,6	98	118	98	64
ν	0,30	0,34	0,33	0,33	0,25	0,37

Voltando à Figura 02 (a), os pontos marcados têm as definições a seguir comentadas.

σ_p: limite de proporcionalidade do material, isto é, tensão abaixo da qual o material se comporta segundo a lei de Hooke.

σ_e: limite de escoamento (tensão a partir da qual as deformações são permanentes. Indica o início da região plásticado material. A região elástica do material está, portanto, à esquerda desse limite e abrange a região de proporcionalidade anterior).

σ_b: tensão máxima de ensaio do material.

σ_r: tensão de ruptura de ensaio do material.

Em materiais pouco dúcteis (frágeis) como ferro fundido, nem todos esses limites ocorrem e uma curva típica é parecida com a Figura 02 (b).

No caso de aços, o teor de carbono exerce significativa influência nas tensões máximas. Abaixo alguns valores típicos de tensões de escoamento e de ruptura para aços-carbono comerciais.

Teor C %	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50
σe (MPa)	177	206	255	284	343
σr (MPa)	324	382	470	520	618

Em geral, para fins de dimensionamento no caso de materiais dúcteis, considera-se tensão admissível igual à tensão de escoamento dividida por um coeficiente de segurança. No caso de materiais frágeis, conforme visto, a tensão de escoamento não é definida e normalmente é usada a de ruptura dividida pelo coeficiente de segurança.

Energia da deformação elástica

Com a suposição de deformação elástica de acordo com a lei de Hooke, deseja-se saber a energia gasta para deformar a barra da condição de repouso A (sem força aplicada) até B, onde uma força F mantém a barra no comprimento L + ΔL (Figura 01 deste tópico).

Deve ser notado que essa energia não é o simples produto F ΔL, uma vez que a força varia com o valor da deformação.

Fig 01

Seja x uma deformação genérica entre A e B, isto é,

0 ≤ x ≤ ΔL.

De acordo com a lei de Hooke,

σ = F(x) / S = E ε = E x / L #A.1#.

Onde F(x) é a força que produz uma deformação absoluta x. Portanto,

• se x = 0, F(x) = 0 #A.2#.
• se x = ΔL, F(x) = F #A.3#.

De acordo com o conceito de trabalho, dW = F(x) dx. Conforme relação #A.1#, F(x) = (E S/L) x. Substituindo e realizando a integração,

W = ∫_{0, ΔL} F(x) dx = (E S/L) ΔL² / 2.

Considerando #A.3# e #A.1#, ΔL = F L / (S E). Substituindo e simplificando, chega-se ao resultado final

W = L F² / (2 E S) #B.1#.

Tensão devido à dilatação linear

Se, conforme Figura 01 (a), uma barra de comprimento L a uma determinada temperatura t for submetida a uma variação (positiva neste caso) de temperatura Δt, a variação do seu comprimento é dada por

ΔL = L α Δt #A.1#.

Onde α é o coeficiente de dilatação linear do material da barra.

Uma simples análise dimensional da fórmula acima permite concluir que a unidade de α no Sistema Internacional é 1/K ou 1/°C, uma vez que variações unitárias de graus Kelvin e Celsius são idênticas.

Fig 01

Se a barra for impedida de dilatar, conforme Figura 01 (b), ela será submetida a uma força e, por conseqüência, tensão de compressão.

Considerando o trabalho na região elástica conforme lei de Hooke, pode-se usar a sua formulação para determinar a tensão (neste caso, é claro, o esforço é de compressão e não de tração).

σ = E ε = E ΔL / L. Substituindo ΔL pelo valor de #A.1#, o resultado é

σ = E α Δt #B.1#.

A tabela abaixo dá valores aproximados do coeficiente de dilatação linear para alguns metais ou ligas comuns.

-	Aços	Alumínio	Bronze	Cobre	Ferro fundido	Latão
α 10-5 1/°C	1,2	2,3	1,9	1,7	1,2	1.9

Exemplo de questão

Fonte: prova perito Polícia Federal, ano desconhecido.

Uma haste tem eixo reto e seção transversal constante, circular, com diâmetro d = 5,0 mm. O material da haste tem módulo de elasticidade E = 2100,00 tf/cm² e segue a lei de Hooke. Se a deformação axial do material for ε = 0,001 qual a força normal atuante na haste ?

(a) 0,412 tf

(b) 0,041 tf

(c) 4,123 tf

(d) 41,230 tf

Solução: aplicando a fórmula σ = E ε, tem-se σ = 2100 0,001 = 2,1 tf/cm². Para diâmetro D = 5,0 mm = 0,5 cm, a área é S = π 0,5² / 4 ≈ 0,196. Portanto, F = σ S = 2,1 0,196 ≈ 0,412 tf. Resposta (a).

Resiliência, tenacidade, ductilidade

  | Topo pág | Fim pág |

Em página anterior foi visto que a energia da deformação de uma barra (comprimento L, seção transversal S e módulo de elasticidade do material E), da condição livre até a situação de equilíbrio com uma força F, é dada por:

#A.1#

Multiplicando dividendo e divisor por S,

W = (F/S)2 L S / 2 E. Considerando que:

F / S = σ (tensão) e L S = V (volume da barra), chega-se ao resultado:

#A.2#


Resiliência U_r é a máxima energia de deformação que uma barra pode absorver sem sofrer deformações permanentes. Assim, na fórmula anterior, ela pode ser dada de forma aproximada com o uso da tensão de escoamento (σ_e):

#B.1#

Figura 01

Módulo de resiliência u_r de um material é a energia de deformação por unidade de volume até o limite de proporcionalidade.

Usando essa definição e a igualdade anterior (#A.2#) e simplificando,

#B.2# 

Considerando a lei de Hooke, σ = E ε, tem-se E = σ / ε. Substituindo na anterior e simplificando,

#B.3#

No diagrama tensão-deformação segundo Figura 01 (a), u_r equivale à área abaixo da parte da curva até o limite de proporcionalidade σ_p(tensão até a qual a lei de Hooke é válida).

A tabela abaixo dá valores aproximados do módulo de resiliência para alguns materiais.

Material	Acrílico	Aço alto C	Aço médio C	Borracha	Cobre	Duralumínio
E (GPa)	3,4	206	206	0,001	118	72
σp (MPa)	14	965	310	2	28	124
ur (MJ/m3)	0,029	2,26	0,23	2,1	0,0033	0,11

Tenacidade é a capacidade de o material absorver energia devido à deformação até a ruptura. É uma propriedade desejável para casos de peças sujeitas a choques e impactos, como engrenagens, correntes, etc. Em geral, não é definida numericamente. Pode-se considerar, de forma similar ao módulo de resiliência, a área total abaixo da curva (u_t) conforme Figura 01 (b). Algumas vezes são usadas as seguintes aproximações:

• materiais dúcteis  #C.1#

• materiais frágeis  #C.2#

Onde σ_r é a tensão de ruptura e ε_r é o alongamento correspondente a essa tensão de ruptura.

Figura 02

A Figura 02 mostra diagramas típicos de tensão x deformação para um aço de alto teor de carbono (para molas por exemplo) e um de médio/baixo teor (para estruturas por exemplo).

Nota-se que o aço para molas tem uma resiliência maior, como seria esperado. Já o aço de médio carbono apresenta uma área sob a curva maior, isto é, uma tenacidade mais alta. Entretanto, essas comparações são aproximadas. O diagrama considera a tensão em relação à área inicial e, na região plástica, não é a tensão real no material. 

Outra propriedade bastante usada no estudo de materiais é a ductilidade. Em geral, é uma característica não definida numericamente. Quanto mais dúctil um material, maior a deformação de ruptura (ε_r). Isso significa que um material dúctil pode ser, por exemplo, trefilado com mais facilidade. Alguns autores consideram um valor para o alongamento de ruptura (ε_r):

εr > 0,05  #D.1# para material dúctil.

O contrário da ductilidade é a fragilidade. Voltando à Figura 02, pode-se notar que aços de elevado carbono são mais frágeis (ou menos dúcteis) que os de médio carbono.

Tensão admissível e coeficiente de segurança

  | Topo pág | Fim pág |

Os gráficos da Figura 01 deste tópico já foram vistos em página anterior. São curvas típicas aproximadas de tensão x deformação para materiais dúcteis (a) e frágeis (b). A Figura 02 do tópico anterior também mostra a diferença.

Os materiais frágeis não apresentam limite definido (σ_e) para as regiões elástica e plástica. Assim, para efeito de dimensionamento, usa-se a tensão de ruptura (σ_r). Para os materiais dúcteis, usa-se a tensão de escoamento σ_e.

Coeficientes de segurança são empregados para prevenir incertezas quanto a propriedades dos materiais, esforços aplicados, variações, etc.

No caso de peças tracionadas, é usual o conceito da tensão admissível, que é dada por:

Figura 01

#A.1# para materiais dúcteis.

#A.2# para materiais frágeis.

Onde c é o coeficiente de segurança. 

A escolha do coeficiente de segurança é uma tarefa de responsabilidade. Valores muito altos significam, em geral, custos desnecessários e valores baixos podem provocar falhas de graves conseqüências. A tabela abaixo dá alguns critérios genéricos para coeficientes de segurança.

Coeficiente	Carregamento	Tensão no material	Propriedades do material	Ambiente
1,2 - 1,5	Exatamente conhecido	Exatamente conhecida	Exatamente conhecidas	Totalmente sob controle
1,5 - 2,0	Bem conhecido	Bem conhecida	Exatamente conhecidas	Estável
2,0 - 2,5	Bem conhecido	Bem conhecida	Razoavelmente conhecidas	Normal
2,5 - 3,0	Razoavelmente conhecido	Razoavelmente conhecida	Ensaiadas aleatoriamente	Normal
3,0 - 4,0	Razoavelmente conhecido	Razoavelmente conhecida	Não ensaiadas	Normal
4,0 - 5,0	Pouco conhecido	Pouco conhecida	Não ensaiadas	Variável

Observações:

• Cargas cíclicas devem ser dimensionadas pelo critério de fadiga (aqui não dado).

• Se houver possibilidade de choques, o menor coeficiente deve ser 2 multiplicado por um fator de choque (em geral, de 1,5 a 2,0).

• Os dados da tabela são genéricos e muitas vezes subjetivos. Não devem ser usados em aplicações críticas e/ou de elevada responsabilidade. Nesses casos, informações devem ser obtidas em literatura ou fontes especializadas, normas técnicas, etc.

Figura 02

Exemplo (fonte: prova PF 2004, com adaptações. Responder Certo ou Errado):

Considere a figura 02, que ilustra o esquema de um mecanismo biela/manivela usado para bombeamento de água em uma mina. Considere que a barra cilíndrica de 100 m de comprimento que aciona o êmbolo, em movimento alternado, sofre uma carga de 138 kN quando puxa o êmbolo para cima e de 13,8 kN quando o empurra para baixo. Nessa situação, sabendo que não existem problemas de flambagem, se a barra for feita de aço com peso específico de 80 kN × m⁻³ (8 × 10⁻⁵ N × mm⁻³) e tensão admissível de 100 MPa, para que o sistema opere corretamente, a seção transversal da barra não poderá ser inferior a 1.500 mm² 

Solução: desde que não há flambagem, não se considera a carga de compressão (13,8 kN). Se já é dada a tensão admissível, σ_adm = 100 MPa (100 10⁶ N/m²), ela supostamente inclui o coeficiente de segurança. Se S é a área da seção transversal da barra,

σadm = F / S. Portanto, S = F / 100 106. Onde F é a força máxima de tração.

Essa força deve ser a carga de tração (138 10³ N) mais o peso próprio da barra, que é dado pelo pelo específico (80 10³ N/m³) multiplicado pelo volume (100 S). Assim,

S = (138 103 + 80 103 100 S ) / 100 106

Resolvendo a equação, S = 0,0015 m2 = 1500 mm2. Resposta Certo.

Reservatório cilíndrico de parede fina

Um reservatório cilíndrico de raio r e espessura t é considerado de parede fina se

r / t ≥ 10 #A.1#.

Nessa condição, pode-se supor que as tensões se distribuem de maneira uniforme ao longo da espessura do cilindro.

Fig 01

Também é suposto que está sujeito a uma pressão interna uniforme p, maior que a atmosférica e relativa à mesma, isto é, pressão manométrica.

O quadrilátero pequeno da Figura 01 representa uma porção elementar da parede do cilindro, que sofre ação das tensões:

α₁ ao longo da circunferência.
α₂ no sentido longitudinal. 

Considera-se uma porção cilíndrica de largura Δx como em A da mesma figura. Se essa porção é cortada diametralmente (B da figura), a tensão σ₁ atua na direção perpendicular às superfícies das extremidades S₁. Para o equilíbrio estático, a força devido a essas tensões deve ser igual à força devido à pressão interna p. Assim,

2 σ₁ S₁ = 2 σ₁ Δx t = p 2r Δx.

Notar que a força devido à pressão é igual ao valor dela multiplicado pela área frontal às extremidades das superfícies S₁(2r Δx) e não ao longo da circunferência.

Portanto, σ₁ = p r / t #B.1#.

Fig 02

Para a tensão σ₂, considera-se um corte transversal do cilindro conforme Figura 02.

A tensão σ₂ atua sobre uma coroa circular conforme indicado no lado direito da figura. Como t é pequeno em relação a r, pode-se supor sua área igual a 2 π r t. E a força para equilibrar é igual à pressão interna multiplicada pela área do círculo de raio r. Assim,


σ₂ 2 π r t = p π r². Portanto, σ₂ = ( 1/2 ) p r / t #C.1#.

Por essa e pela igualdade #B.1#, pode-se concluir que a tensão determinante para dimensionamento é σ₁, ou seja, a tensão no sentido da circunferência do cilindro.

Outro aspecto importante: junções (soldadas ou de outros tipos) paralelas ao eixo do cilindro sofrem tensões iguais ao dobro das tensões em junções ao longo da circunferência.

Reservatório esférico de parede fina

Seja um reservatório esférico de raio r e espessura t de parede. A parede é considerada fina se

r / t ≥ 10 #A.1#, de forma similar ao cilíndrico do tópico anterior.

Fig 01

Se o reservatório é preenchido por um fluido sob pressão p (relativa a atmosférica), a simetria sugere que as tensões σ são as mesmas em quaisquer direções.

Considerando-se uma semi-esfera conforme lado direito da Figura 01, a tensão σ atua perpendicularmente à área cortada (aproximadamente igual a 2 π r t).

E a força para manter a condição de equilíbrio estático é igual à pressão interna multiplicada pela área do círculo de raio r.

Assim, σ 2 π r t = p π r². Ou σ = ( 1/2 ) p r / t #B.1#.

Observar que é igual à menor tensão calculada para o reservatório cilíndrico do tópico anterior. Por isso, pode-se supor que o reservatório esférico é o que suporta maior pressão com a menor quantidade de material.

Algumas considerações sobre reservatórios

Além das tensões superficiais, reservatórios submetidos a pressões internas estão sujeitos a tensões radiais, que variam do valor da pressão na superfície interna até zero na superfície externa. Na suposição de paredes finas conforme tópicos anteriores, essas tensões são em geral de 5 a 10 vezes menores que as demais e podem ser desprezadas.

As fórmulas dos dois tópicos anteriores valem para reservatórios sob pressão interna. No caso de reservatórios submetidos a pressões externas (para vácuo por exemplo), falhas podem ocorrer antes da ruptura devido à deformação das superfícies.

Essas fórmulas são as mais simples para reservatórios cilíndricos e esféricos. Existem várias outras considerações a tomar no projeto dos mesmos (coeficientes de segurança, reforços em apoios e outros locais como tampas e saídas de tubos, temperatura, corrosão, etc). Consultar normas técnicas e outras fontes sobre o assunto.

Deformação por cisalhamento

Se um material sofre um esforço de cisalhamento puro conforme Figura 01 (a), ele se deforma conforme (b) da mesma figura.

Fig 01

Na região elástica, o ângulo de distorção γ e a tensão τ são proporcionais

τ = G γ #A.1#.

O coeficiente G é denominado módulo de elasticidade transversal ou módulo de rigidez do material.

A relação com o módulo de elasticidade (simbolizado por "E") e o módulo de Poisson (aqui simbolizado por "ν") é dada por

G = E / [ 2 (1 + ν) ] #A.2#.

Fig 02

Para uma barra de seção transversal S constante, submetida a uma força cisalhante F e sem considerar a deformação por flexão, tem-se o ângulo γ aproximadamente igual a y / L para pequenas deformações (Figura 02).

Então τ = F / S = G γ ≈ G y / L. Rearranjando a igualdade, y ≈ F L / (G S) #A.3#.

Energia da deformação por cisalhamento

A equação #A.3# do tópico anterior pode ser reescrita para a força F em função do deslocamento y

F = (G S / L) y.

A energia ou trabalho de deformação é dada pela integração do produto da força pelo deslocamento

W = ∫_0,y (G S / L) y dy = |_0,y (G S / L) y² / 2 = G S y² / (2 L).

Para exibir o trabalho em função da força F, substitui-se y pelo valor da igualdade #A.3# do mesmo tópico

W = G S (F L / G S)² / (2 L), isto é, W = F² L / (2 G S) #A.1#.

Exemplo de cisalhamento: união soldada

Seja o exemplo da Figura 01 abaixo: a uma chapa central são soldadas duas laterais totalizando 4 filetes de solda de seção triangular, de comprimento L e largura t.

Fig 01

O conjunto é tracionado por uma força F atuante conforme figura. Nessa condição, os esforços nos filetes de solda são basicamente de cisalhamento.

Considerando que a tração aplicada se distribui igualmente pelos 4 filetes, cada um suporta um esforço de cisalhamento igual a F/4.

O detalhe A da figura é uma ampliação do corte do filete. A menor seção tem largura:

h = t √ 2 / 2. E, portanto, o máximo cisalhamento deve ocorrer nessa seção. A tensão de cisalhamento aplicada ao material da solda é dada por

τ = (F / 4) / (L h) = (F / 4) / (L t √ 2 / 2) = F / (2 √ 2 L t).

Valores típicos de tensões admissíveis em soldas para aços estão na faixa de 75 MPa. Consultar dados dos fabricantes.

Tensão admissível de cisalhamento: em página anterior foram dados alguns critérios para tensões admissíveis de peças tracionadas. Alguns autores sugerem, para o cisalhamento, a tensão admissível de tração multiplicada por um fator que varia de 0,5 a 0,6.

Coeficiente de Poisson - Mais informações

Em página anterior foi dada a definição básica do coeficiente de Poisson, isto é, a razão entre a deformação transversal e a deformação longitudinal. Rigorosamente, deve ser definido com sinal

ν = - (ε_transversal / ε_longitudinal) #A.1#. Obs: símbolos usuais são "ν" ou "μ".

Num sistema de coordenadas ortogonais, como em (a) da Figura 01, seria a relação entre a deformação ao longo do eixo y e a deformação ao longo do eixo x.

Fig 01

Se há deformação em ambas as direções, é lógico supor que pode haver tensões associadas. Considerando agora o caso genérico, isto é, as três dimensões, tem-se a forma generalizada da lei de Hooke (demonstração omitida)

ε_x = (1 / E) [ σ_x − ν (σ_y + σ_z) ]

ε_y = (1 / E) [ σ_y − ν (σ_x + σ_z) ]

ε_z = (1 / E) [ σ_z − ν (σ_x + σ_y) ] #B.1#.

Onde ε é deformação, E é módulo de elasticidade, σ é tensão e ν é módulo ou coeficiente de Poisson. Naturalmente, essas relações são válidas para materias isotrópicos (propriedades idênticas em todas as direções).


Portanto, no caso de tensões no plano em coordenadas ortogonais como em (a) da Figura 01, a igualdade anterior fica reduzida a

ε_x = (1 / E) ( σ_x − ν σ_y )

ε_y = (1 / E) ( σ_y − ν σ_x ) #C.1#.

Para coordenadas polares como em (b) da mesma figura, ocorrem as relações

ε_r = (1 / E) ( σ_r − ν σ_θ )

ε_θ = (1 / E) ( σ_θ − ν σ_r ) #C.2#.

Notar que o coeficiente de Poisson não pode ser maior que 0,5 porque, se fosse, um elemento tensionado poderia atingir volume nulo ou negativo. Valores típicos para aços estão na faixa de 0,20 a 0,40. Borracha apresenta valor perto de 0,5 e cortiça, perto de 0 (essa é uma das razões para uso da cortiça em rolhas de garrafas. Praticamente não há variação de comprimento ao ser pressionada pelos lados).

Deformação plástica residual

Topo | Fim

No esquema da Figura 01, a barra é considerada de seção transversal S constante. São conhecidos também os valores de:

L: comprimento inicial.
E: módulo de elasticidade do material.
σ_E: tensão de escoamento do material.
ΔL_max: aumento do comprimento devido à aplicação do esforço de tração.

Fig 01

Com esses dados, deseja-se saber o aumento permanente ΔL_perm, que ocorre depois de retirada a força tracionante F.

Supõe-se que o material se comporta conforme o gráfico na parte direita da referida figura.

Do início da deformação (0) até o escoamento (1), há uma relação linear entre tensão σ e deformação ε. Iniciado o escoamento, a tensão permanece constante até a deformação máxima em (2).

Na remoção do esforço (2) a (3), a relação tensão e deformação volta a ser linear e, desde que o módulo de elasticidade não varia, o retorno se dá em uma reta paralela a 01, deslocada devido à deformação residual da região plástica 12. É uma aproximação dos ensaios reais de tração.

A deformação máxima (em 2) é dada por ε₂ = ΔL_max/L.

A deformação máxima na região elástica (em 1) é dada por: ε₁ = σ_E / E (lei de Hooke).

A geometria do gráfico permite concluir que a deformação em (3) é igual à diferença entre as deformações em (2) e em (1). Assim,

ε₃ = ε₂ − ε₁ = ΔL_max/L − σ_E / E.

Mas ε₃ = ΔL_perm/L ou ΔL_perm = ε₃ L.

Portanto, ΔL_perm = ( ΔL_max/L − σ_E / E ) L #A.1#.

Ação da força centrífuga em barra girante

Conforme Figura 01 deste tópico, uma barra horizontal de seção transversal constante gira, em torno de um eixo vertical que passa por uma extremidade, com velocidade angular constante. Deseja-se saber a atuação da força centrífuga ao longo do comprimento da barra bem como sua deformação. São conhecidos:

L: comprimento da barra.
S: área da seção transversal.
ω: velocidade angular.
μ: massa específica do material da barra.
E: módulo de elasticidade do material da barra.

Das relações da Dinâmica, pode ser visto que, para uma massa puntiforme m que gira com velocidade angular ω e raio r, a força centrífuga é dada por

F = m ω² R #A.1#.

Essa igualdade vale para uma massa concentrada em um ponto. No caso da barra em questão, ela é distribuída. Mas pode ser tratada como uma massa puntiforme localizada no ponto de simetria (ponto médio) da parte considerada.

Seja um ponto P genérico situado a um raio r do centro. A força centrífuga atuante nesse ponto é equivalente à da massa do trecho PA concentrada no seu ponto médio, ou seja, distante r + PA/2 do centro O.

Fig 01

Mas PA = L − r. Portanto, o raio de giro dessa massa concentrada é r + (L − r)/2. Simplificando, (L + r)/2.

A massa dessa parte é μ PA S = μ (L − r) S.

Substituindo para a força centrífuga (#A.1#),

F = μ (L − r) S ω² (L + r) / 2.

Simplificando, F(r) = μ S ω² (L² − r²) / 2 #A.2#.

Observar a notação F(r), que indica a dependência com o raio r. Na extremidade A (r = L) a força é nula, atingindo o valor máximo em O (r = 0). Portanto a tensão máxima é dada por

σ_max = F(0)/S = μ ω² L² / 2 #A.3#.

A determinação da deformação não se faz pela simples divisão da tensão pelo módulo de elasticidade. Desde que a força varia ao longo do comprimento (#A.2#), a tensão também varia, o que torna inválida a divisão mencionada.

Considera-se um comprimento infinitesimal dr distante r do centro O (isto é, dL está em P da figura). Dividindo a igualdade #A.2# pela área S, obtém-se a tensão atuante nesse ponto

σ(r) = μ ω² (L² − r²) / 2. Considerando dℓ a variação do comprimento dr provocada pela tensão σ, tem-se conforme a lei de Hooke

dℓ / dr = σ / E = μ ω² (L² − r²) / (2 E). Ou dℓ = [ μ ω² / (2E) ] (L² − r²) dr.

A variação total do comprimento é dada pela integração

ℓ = ∫_0,L dℓ = ∫_0,L [ μ ω² / (2E) ] (L² − r²) dr = [ μ ω² / (2E) ] |_0,L (L² r − r³/3).

ℓ = [ μ ω² / (2E) ] (L³ − L³/3) = [ μ ω² / (2E) ] (2 L³ / 3) = [ μ ω² L² / 2 ] [2 L / (3E) ].

O primeiro termo entre colchetes é a tensão máxima dada por #A.3#. Assim,

ℓ = 2 σ_max L / (3 E). Isso é a variação total de comprimento. Portanto, a divisão por L dá a deformação total da barra

ε = ℓ / L = 2 σ_max / (3 E) #A.4#.

Dilatação linear com dois materiais

Problema de dilatação já foi visto em página anterior desta série. Neste caso, há duas barras de materiais diferentes, que sofrem a mesma variação de temperatura Δt e são impedidas de dilatar conforme (a) da Figura 01. As seções transversais, consideradas circulares, também são diferentes.

Fig 01

Além das dimensões geométricas (L e D) indicadas na figura, supõe-se que são conhecidos os módulos de elasticidade (E₁ e E₂) e os coeficientes de dilatação linear (α₁ e α₂) de cada material.

A condição de equilíbrio estático permite concluir que as reações dos apoios são idênticas:

R_A = R_B = R. Portanto, ambas as partes estão sob o mesmo esforço de compressão R.

Considera-se agora a situação (b) da figura, isto é, o aquecimento livre.

Nessa condição e segundo fórmula já vista ( ΔL = L α Δt ), os comprimentos das partes seriam:

L_1' = L₁ + L₁ α₁ Δt #A.1#.

L_2' = L₂ + L₂ α₂ Δt #A.2#.

E as variações:

ΔL_1dilat = L₁ α₁ Δt #B.1#.

ΔL_2dilat = L₂ α₂ Δt #B.2#.

Com a aplicação das reações dos apoios R_A e R_B, as barras sofrem uma deformação por compressão elástica, de forma que a soma dos comprimentos finais L_1F + L_2F é igual à soma dos comprimentos iniciais L₁ + L₂.

Notar que os comprimentos finais L_1F e L_2F não são necessariamente iguais aos seus comprimentos iniciais L₁ e L₂, como pode sugerir a figura. A igualdade está na soma de ambos.

As áreas das seções transversais de cada parte são:

S₁ = π D₁²/ 4 #C.1#.

S₂ = π D₂²/ 4 #C.2#.

E as tensões em cada parte são:

σ₁ = R/S₁ = 4 R / (π D₁²) #D.1#.

σ₂ = R/S₂ = 4 R / (π D₂²) #D.2#.

Conforme lei de Hooke, σ = E ε = E ΔL / L ou ΔL = σ L / E. Assim,

ΔL_1compr = σ₁ L₁ / E₁ #E.1#.

ΔL_2compr = σ₂ L₂ / E₂ #E.2#.

Para impedir a dilatação livre, a soma das reduções de comprimento devido à compressão deve ser igual à soma dos aumentos devido à dilatação:

ΔL_1compr + ΔL_2compr = ΔL_1dilat + ΔL_2dilat.

σ₁ L₁ / E₁ + σ₂ L₂ / E₂  = ΔL_1dilat + ΔL_2dilat.

R L₁ / S₁ E₁ + R L₂ / S₂ E₂  = L₁ α₁ Δt + L₂ α₂ Δt.

R = [ L₁ α₁ Δt + L₂ α₂ Δt ] / [ L₁ / S₁ E₁ + L₂ / S₂ E₂].

R = [ ΔL_1dilat + ΔL_2dilat ] / [ 4 L₁ / (π D₁² E₁) + 4 L₂ / (π D₂² E₂) ] #F.1#.

Com essa igualdade a reação R fica determinada em função de parâmetros supostamente conhecidos e outros dados podem ser calculados em função da mesma. Considera-se agora o exemplo numérico para Δt = 80ºC.

Seja alumínio o material da parte 1 e bronze o da parte 2. E os valores:

L₁ = 0,45 m | D₁ = 0,05 m | E₁ = 69 GPa | α₁ = 2,3 10^-5 /ºC.

L₂ = 0,50 m | D₂ = 0,045 m | E₂ = 98 GPa | α₂ = 1,9 10^-5 /ºC.

Conforme #B.1# e #B.2#,

ΔL_1dilat = 0,45 m 2,3 10^-5 /ºC 80 ºC =  0,828 mm ou 0,828 10^-3 m.

ΔL_2dilat = 0,50 m 1,9 10^-5 /ºC 80 ºC =  0,760 mm ou 0,760 10^-3 m.

Conforme #F.1#,

r = [8,28 10^-4 m + 7,6 10^-4 m] / [ 4 0,45 m / (π 0,05² m² 69 10⁹ N/m² + 4 0,50 m / (π 0,045² m² 98 10⁹ N/m² ].

r ≈ 15,88 10^-4 m / [ 3,32 10^-9 (m/N) + 3,21 10^-9 (m/N) ] ≈ 243,206 kN.

Calculam-se agora as tensões de compressão conforme #D.1# e #D.2#:

σ₁ = 4 243,206 10³ / (π 0,05² m²) ≈ 123,864 MPa.

α₂ = 4 243,206 10³ / (π 0,045² m²) ≈ 152,918 MPa.

E as variações devido à compressão conforme #E.1# e #E.2#:

ΔL_1compr = 123,864  MPa 0,45 m / 69 GPa ≈ 0,808 10^-3 m ou 0,808 mm.

ΔL_2compr = 152,918 MPa 0,50 m / 98 GPa ≈ 0,780 10^-3 m ou 0,780 mm.

Desde que a dilatação aumenta o comprimento e a compressão diminui, a variação líquida é igual à diferença das duas. Assim,

ΔL₁ = ΔL_1dilat − ΔL_1compr = 0,828 − 0,808 = 0,02 mm.

ΔL₂ = ΔL_2dilat − ΔL_2compr = 0,760 − 0,780 = −0,02 mm.

Os resultados positivo e negativo indicam que o alumínio é expandido e o bronze, comprimido. À primeira vista, isso pode parecer estranho. É mais visível supor ambas as partes comprimidas. Mas os diâmetros e comprimentos são diferentes, os materiais têm módulos de elasticidade e coeficientes de dilatação distintos. A combinação desses valores pode fazer resultados desse tipo.

Fonte: http://www.mspc.eng.br